Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2023

Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, de forma que el primer punto que oscila en oposición de fase respecto de un extremo dista 20 cm de este. Teniendo en cuenta que en dicho punto la aceleración máxima de vibración tiene un valor numérico 100 veces superior al de su elongación máxima (expresando ambas magnitudes en el S.I.), determine la velocidad de propagación de la onda.

El primer punto que oscila en oposición de fase respecto del extremo está a media longitud de onda de él, porque el desfase entre dos puntos separados $\Delta x$ es $\Delta\varphi=k\,\Delta x$, y para que valga $\pi$ hace falta:

$\pi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot0{,}20\Rightarrow \lambda=0{,}40\ \text{m}$

La segunda condición del enunciado relaciona la aceleración máxima con la elongación máxima. En un movimiento armónico simple:

$y=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t+\varphi\right)\qquad a=-\omega^{2}\,y$

de manera que los valores máximos cumplen:

$a_{\max}=\omega^{2}\,A$

Que la aceleración máxima sea numéricamente cien veces la elongación máxima significa:

$\dfrac{a_{\max}}{A}=\omega^{2}=100\Rightarrow \omega=10\ \text{rad/s}$

Con la frecuencia angular y la longitud de onda ya se tiene la velocidad de propagación:

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}40}=5\pi\ \text{rad/m}$

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{10}{5\pi}=0{,}637\ \text{m/s}$

La onda se propaga a $0{,}637\ \text{m/s}$. Obsérvese que la velocidad de propagación no tiene nada que ver con la amplitud, que aquí ni siquiera hace falta conocer.