Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Por tres hilos rectilíneos $A$, $B$ y $C$, muy largos y paralelos, circula la misma intensidad de 2 A. Su posición y el sentido de la corriente se muestran en la figura. Calcule el vector campo magnético generado en el punto medio $M$ de la hipotenusa. Realice un diagrama ilustrativo que muestre el campo que produce cada hilo en ese punto, así como el campo total.

Dato: $\mu_{0} = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}$

El módulo del campo que crea un hilo rectilíneo indefinido es:

$B=\dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}$

y su dirección es perpendicular a la recta que une el hilo con el punto, con el sentido que da la regla de la mano derecha.

El punto $M$ es el punto medio de la hipotenusa, y en un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices.





Esa distancia es la mitad de la hipotenusa:

$d=\dfrac{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}=0{,}707\ \text{m}$

Como los tres hilos llevan la misma corriente y están a la misma distancia, los tres campos tienen el mismo módulo:

$B_A=B_B=B_C=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2}{2\pi\cdot0{,}707}=5{,}66\cdot10^{-7}\ \text{T}$

Ahora hay que mirar las direcciones, y aquí está la gracia del ejercicio. Los hilos $A$ y $B$ llevan la corriente saliente y están alineados con $M$ sobre la hipotenusa, uno a cada lado. Sus campos son perpendiculares a esa recta, pero de sentidos opuestos, y como tienen el mismo módulo se cancelan:

$\vec B_A+\vec B_B=\vec 0$

Solo queda el campo del hilo $C$, cuya corriente es entrante. La recta $CM$ forma $45^\circ$ con los ejes, así que su campo es perpendicular a ella y apunta hacia abajo y a la derecha:

$\vec B_M=\vec B_C=5{,}66\cdot10^{-7}\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\,\vec\imath-\dfrac{\sqrt2}{2}\,\vec\jmath\right)$

$\vec B_M=\left(4{,}0\,\vec\imath-4{,}0\,\vec\jmath\right)\cdot10^{-7}\ \text{T}$

El campo total en $M$ vale $5{,}66\cdot10^{-7}\ \text{T}$ y forma $-45^\circ$ con el eje $X$.