Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La energía mecánica del satélite en la órbita es $-4{,}5\cdot 10^{9}\ \text{J}$ y su velocidad $7610\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Calcule el radio de la órbita y la masa del satélite.

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$

En una órbita circular la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{v^{2}}{r}\Rightarrow v^{2}=\dfrac{G\,M_T}{r}$

De esta relación sale el radio sin necesidad de conocer la masa del satélite.





$r=\dfrac{G\,M_T}{v^{2}}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{7610^{2}}=6{,}89\cdot10^{6}\ \text{m}$

Para la masa se usa la energía mecánica. En una órbita circular vale la mitad de la potencial, es decir, la cinética cambiada de signo:

$E=E_c+E_p=\dfrac12\,m\,v^{2}-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-\dfrac12\,m\,v^{2}$

Se despeja la masa:

$m=-\dfrac{2\,E}{v^{2}}=-\dfrac{2\cdot\left(-4{,}5\cdot10^{9}\right)}{7610^{2}}=155\ \text{kg}$

El satélite orbita a $6{,}89\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, es decir, a unos 520 km de altura, y su masa es de 155 kg.