Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En un cierto punto $A$ la intensidad de la gravedad es la mitad que en la superficie de la Tierra, mientras que en otro punto $B$ es la cuarta parte. Determine la distancia de ambos puntos al centro de la Tierra y la velocidad mínima que debe llevar un objeto en $A$ para poder alcanzar el punto $B$.

Datos: $g_{0} = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{T}} = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro de la Tierra es:

$g=G\dfrac{M_T}{r^{2}}$

y en la superficie, con $r=R_T$, vale $g_0$. Basta con imponer en cada punto la fracción que da el enunciado.





En el punto $A$, donde la gravedad es la mitad:

$G\dfrac{M_T}{r_A^{2}}=\dfrac{1}{2}\,G\dfrac{M_T}{R_T^{2}}\Rightarrow r_A=R_T\sqrt2=9{,}01\cdot10^{6}\ \text{m}$

En el punto $B$, donde es la cuarta parte:

$G\dfrac{M_T}{r_B^{2}}=\dfrac{1}{4}\,G\dfrac{M_T}{R_T^{2}}\Rightarrow r_B=2\,R_T=1{,}27\cdot10^{7}\ \text{m}$

La velocidad mínima en $A$ es la que deja al objeto llegando a $B$ con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, se conserva la energía mecánica:

$\dfrac12\,m\,v^{2}-G\dfrac{M_T\,m}{r_A}=0-G\dfrac{M_T\,m}{r_B}$

Se simplifica la masa del objeto y se despeja la velocidad:

$v=\sqrt{2\,G\,M_T\left(\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}\right)}$

$v=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\left(\dfrac{1}{9{,}01\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{1{,}27\cdot10^{7}}\right)}$

$v=5{,}09\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Hay que lanzarlo desde $A$ a $5{,}09\ \text{km/s}$ como mínimo.