Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2023

Encuentre la relación entre la energía cinética de un electrón y la energía de un fotón si ambos tienen la misma longitud de onda.

Se trata de comparar dos cosas que se calculan de manera distinta, aunque compartan la longitud de onda.

Para el FOTÓN, la energía es la de Planck:

$E_{\text{fotón}}=h\,f=h\dfrac{c_0}{\lambda}$

Para el ELECTRÓN, la longitud de onda es la de De Broglie, y de ella sale su cantidad de movimiento:

$\lambda=\dfrac{h}{p}\Rightarrow p=\dfrac{h}{\lambda}$

Como se mueve a velocidades no relativistas, su energía cinética es:

$E_c=\dfrac{p^{2}}{2\,m_e}=\dfrac{1}{2\,m_e}\left(\dfrac{h}{\lambda}\right)^{2}=\dfrac{h^{2}}{2\,m_e\,\lambda^{2}}$

Ahora basta con dividir una entre otra:

$\dfrac{E_c}{E_{\text{fotón}}}=\dfrac{\dfrac{h^{2}}{2\,m_e\,\lambda^{2}}}{\dfrac{h\,c_0}{\lambda}}=\dfrac{h}{2\,m_e\,c_0\,\lambda}$

De donde:

$E_c=\dfrac{h}{2\,m_e\,c_0\,\lambda}\,E_{\text{fotón}}$

La energía cinética del electrón es siempre mucho menor que la del fotón de la misma longitud de onda, y la diferencia crece al aumentar $\lambda$. Para hacerse una idea: con $\lambda=10^{-10}\ \text{m}$ el cociente vale unos $1{,}2\cdot10^{-2}$, es decir, el electrón tiene apenas un uno por ciento de la energía del fotón.