Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Dos partículas $A$ y $B$, de igual carga y masa, se mueven en la misma dirección y entran perpendicularmente en un campo magnético uniforme. Si la relación entre sus velocidades es $v_{B} = 2v_{A}$, ¿qué relación existe entre los radios de sus trayectorias? ¿Y entre las frecuencias de los respectivos movimientos circulares?

Las dos partículas entran perpendicularmente al campo, de modo que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad en todo momento y hace de fuerza centrípeta:

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{q\,B}$





Las dos partículas tienen la misma carga, la misma masa y están en el mismo campo, así que el radio solo depende de la velocidad y es proporcional a ella:

$\dfrac{R_B}{R_A}=\dfrac{v_B}{v_A}=2\Rightarrow R_B=2\,R_A$

La partícula más rápida describe una circunferencia del doble de radio.

Con la frecuencia ocurre algo distinto. El periodo del movimiento circular es:

$T=\dfrac{2\pi\,R}{v}=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{q\,B}=\dfrac{2\pi\,m}{q\,B}$

$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{q\,B}{2\pi\,m}$

La velocidad se ha simplificado: la frecuencia no depende de ella, solo de la carga, la masa y el campo. Por tanto:

$f_A=f_B$

Las dos partículas tardan lo mismo en dar una vuelta, aunque una recorra una circunferencia el doble de larga: simplemente lo hace al doble de velocidad. Es la propiedad en la que se basa el ciclotrón.