Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Razone si la siguiente afirmación es correcta: «El valor de la energía mecánica de un satélite que orbita alrededor de un planeta es la mitad del valor de su energía potencial».

La afirmación es CORRECTA. Se demuestra a partir de la condición de órbita circular: la atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta.

$G\dfrac{M\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{v^{2}}{r}$





Se simplifica un factor $r$ y se despeja la energía cinética:

$m\,v^{2}=G\dfrac{M\,m}{r}\Rightarrow E_c=\dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{1}{2}\,G\dfrac{M\,m}{r}$

La energía potencial gravitatoria es:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}$

de modo que la cinética es la mitad de la potencial cambiada de signo:

$E_c=-\dfrac{E_p}{2}$

Y sumando las dos se obtiene la energía mecánica:

$E_M=E_c+E_p=-\dfrac{E_p}{2}+E_p=\dfrac{E_p}{2}=-G\dfrac{M\,m}{2\,r}$

Efectivamente, la energía mecánica es la mitad de la energía potencial, y esto vale para cualquier órbita circular, sea cual sea su radio. Obsérvese además que sale negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta: haría falta aportarle energía para alejarlo indefinidamente.