Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2023

Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un cierto instante se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es 1 m. Además, se comprueba que un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,125 s y que la velocidad de vibración máxima de un punto de la cuerda es $0{,}24\pi\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Si la onda se desplaza en el sentido positivo del eje X y la fase inicial es nula, determine la ecuación de la onda.

La distancia entre dos máximos consecutivos es una longitud de onda completa:

$\lambda=1\ \text{m}\Rightarrow k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=2\pi\ \text{rad/m}$

Pasar de la elongación máxima a la elongación nula lleva un cuarto de periodo, porque son dos posiciones separadas por $\lambda/4$ en el ciclo:

$\dfrac{T}{4}=0{,}125\ \text{s}\Rightarrow T=0{,}5\ \text{s}$

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=4\pi\ \text{rad/s}\qquad f=\dfrac1T=2\ \text{Hz}$

La amplitud sale de la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda:

$v_{\max}=A\,\omega\Rightarrow A=\dfrac{0{,}24\pi}{4\pi}=0{,}06\ \text{m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$ y la fase inicial es nula, la ecuación es:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t-k\,x\right)$

$y(x,t)=0{,}06\operatorname{sen}\left(4\pi\,t-2\pi\,x\right)\ \text{m}$

Se puede comprobar con la velocidad de propagación, que ha de coincidir con $\lambda f$:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{4\pi}{2\pi}=2\ \text{m/s}=1\cdot2$