Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Las distancias al Sol desde la Tierra y desde Marte son $1{,}466\cdot 10^{8}\ \text{km}$ y $2{,}279\cdot 10^{8}\ \text{km}$, respectivamente. Calcule la velocidad orbital de Marte y la masa del Sol. Periodo de traslación terrestre $T = 365$ días.

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

Los dos planetas describen órbitas alrededor del Sol, de modo que se les puede aplicar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita.

$\dfrac{T_M^{2}}{T_T^{2}}=\dfrac{r_M^{3}}{r_T^{3}}$





Con el periodo terrestre en segundos:

$T_T=365\ \text{días}\cdot86\,400\ \dfrac{\text{s}}{\text{día}}=3{,}15\cdot10^{7}\ \text{s}$

Se despeja el periodo de Marte:

$T_M=T_T\left(\dfrac{r_M}{r_T}\right)^{3/2}=3{,}15\cdot10^{7}\left(\dfrac{2{,}279\cdot10^{11}}{1{,}466\cdot10^{11}}\right)^{3/2}$

$T_M=6{,}11\cdot10^{7}\ \text{s}\ \left(707\ \text{días}\right)$

Y con él, la velocidad orbital, que es la del movimiento circular uniforme:

$v_M=\dfrac{2\pi\,r_M}{T_M}=\dfrac{2\pi\cdot2{,}279\cdot10^{11}}{6{,}11\cdot10^{7}}=2{,}34\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Para la masa del Sol basta con imponer que la atracción gravitatoria sea la fuerza centrípeta de cualquiera de los dos planetas. Usando los datos de la Tierra:

$G\dfrac{M_S\,m}{r_T^{2}}=m\,\dfrac{4\pi^{2}\,r_T}{T_T^{2}}\Rightarrow M_S=\dfrac{4\pi^{2}\,r_T^{3}}{G\,T_T^{2}}$

$M_S=\dfrac{4\pi^{2}\left(1{,}466\cdot10^{11}\right)^{3}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\left(3{,}15\cdot10^{7}\right)^{2}}=1{,}88\cdot10^{30}\ \text{kg}$

Marte orbita a 23,4 km/s y la masa del Sol resulta ser de $1{,}88\cdot10^{30}\ \text{kg}$. Se obtiene el mismo valor partiendo de los datos de Marte, como tenía que ser: la constante de Kepler es la misma para todos los planetas del sistema.