Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Determine la mínima longitud de onda de de Broglie de los fotoelectrones emitidos cuando luz de 450 nm incide sobre un cátodo de sodio, cuyo trabajo de extracción es 2,28 eV.

Datos: $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_{\text{e}} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $c_{0} = 3{,}00\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

La longitud de onda de De Broglie es inversamente proporcional a la cantidad de movimiento:

$\lambda_e=\dfrac{h}{p}$

de modo que la MÍNIMA longitud de onda corresponde a los electrones más rápidos, los que salen con la energía cinética máxima. Esa energía la da la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$E_{c,\max}=h\dfrac{c_0}{\lambda}-W_0$





La energía de cada fotón incidente es:

$E=h\dfrac{c_0}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{450\cdot10^{-9}}=4{,}42\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y el trabajo de extracción del sodio, en julios:

$W_0=2{,}28\cdot1{,}60\cdot10^{-19}=3{,}65\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Como la energía del fotón es mayor, sí hay emisión, y el sobrante se lo llevan los electrones:

$E_{c,\max}=4{,}42\cdot10^{-19}-3{,}65\cdot10^{-19}=7{,}72\cdot10^{-20}\ \text{J}$

De esa energía cinética sale la cantidad de movimiento máxima:

$p=\sqrt{2\,m_e\,E_{c,\max}}=\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot7{,}72\cdot10^{-20}}=3{,}75\cdot10^{-25}\ \text{kg m/s}$

Y por fin la longitud de onda pedida:

$\lambda_e=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{3{,}75\cdot10^{-25}}=1{,}77\cdot10^{-9}\ \text{m}=1{,}77\ \text{nm}$