Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla y León · 2024

Una onda transversal se propaga sobre una cuerda en el sentido creciente del eje X. Teniendo en cuenta que la distancia mínima entre dos puntos que vibran en oposición de fase es 10 cm y que la velocidad de vibración del punto $x = 0$ varía con el tiempo según se muestra en la figura, exprese, en unidades del S.I, la ecuación correspondiente a dicha onda.

Dos puntos vibran en oposición de fase cuando su diferencia de fase es $\pi$, lo que ocurre cuando distan media longitud de onda. La distancia mínima entre dos de ellos da, por tanto, $\lambda/2$:

$\dfrac{\lambda}{2}=10\ \text{cm}\Rightarrow \lambda=0{,}20\ \text{m}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}20}=10\pi\ \text{rad/m}$

De la gráfica del enunciado se leen otras dos cosas. El periodo, que es lo que tarda la velocidad en repetirse, y la velocidad máxima de vibración:

$T=0{,}25\ \text{s}\Rightarrow \omega=\dfrac{2\pi}{T}=8\pi\ \text{rad/s}$

$v_{\max}=50\ \text{cm/s}=0{,}50\ \text{m/s}$

La amplitud sale de la relación entre la velocidad máxima y la frecuencia angular:

$v_{\max}=A\,\omega\Rightarrow A=\dfrac{0{,}50}{8\pi}=2{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m}$

Falta la fase inicial. Como la onda avanza en el sentido creciente del eje $X$, se escribe:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega\,t-k\,x+\varphi_0\right)$

$v_y(x,t)=A\,\omega\cos\left(\omega\,t-k\,x+\varphi_0\right)$

Según la gráfica, en $x=0$ y $t=0$ la velocidad de vibración es máxima y positiva, lo que exige que el coseno valga 1:

$\cos\varphi_0=1\Rightarrow \varphi_0=0$

La ecuación de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=0{,}02\operatorname{sen}\left(8\pi\,t-10\pi\,x\right)\ \text{m}$

Se puede comprobar el resultado con la velocidad de propagación:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{8\pi}{10\pi}=0{,}80\ \text{m/s}=\lambda\,f=0{,}20\cdot4$