Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

La masa de la Tierra es, aproximadamente, 81 veces la masa de la Luna y la distancia entre sus centros es $3{,}84\cdot 10^{5}\ \text{km}$. Calcule la energía potencial de un meteorito de 400 kg situado en el punto medio del segmento que une los centros de la Tierra y la Luna.

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$

La energía potencial gravitatoria de una masa sometida a varios cuerpos es la suma escalar de las energías debidas a cada uno:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r_T}-G\dfrac{M_L\,m}{r_L}$

El meteorito está en el punto medio, de modo que las dos distancias son iguales y valen la mitad de la separación entre los centros:

$r_T=r_L=\dfrac{d}{2}=\dfrac{3{,}84\cdot10^{8}}{2}=1{,}92\cdot10^{8}\ \text{m}$

La masa de la Luna se obtiene de la relación que da el enunciado:

$M_L=\dfrac{M_T}{81}=\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}}{81}=7{,}38\cdot10^{22}\ \text{kg}$

Al ser iguales las dos distancias, se puede sacar factor común:

$E_p=-\dfrac{G\,m}{d/2}\left(M_T+M_L\right)$

$E_p=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot400}{1{,}92\cdot10^{8}}\left(5{,}98\cdot10^{24}+7{,}38\cdot10^{22}\right)$

$E_p=-8{,}41\cdot10^{8}\ \text{J}$

La energía potencial del meteorito en ese punto es de $-8{,}41\cdot10^{8}\ \text{J}$. Es negativa, como siempre en el campo gravitatorio, y la aportación de la Luna apenas supone un 1 % del total: pese a estar a la misma distancia, su masa es 81 veces menor.