Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Castilla y León · 2024

Deduzca la relación entre la distancia de un objeto a una lente convergente y la distancia focal de esta para que la imagen obtenida sea invertida y tenga un tamaño 1,5 veces menor que el objeto. Justifique la respuesta mediante el correspondiente diagrama de rayos.

Que la imagen sea invertida y 1,5 veces menor que el objeto significa que el aumento lateral vale:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{1{,}5}=-\dfrac23$

El signo negativo es el que indica que está invertida, y el valor absoluto menor que uno, que es más pequeña. De la definición del aumento se obtiene la posición de la imagen:

$\beta=\dfrac{s'}{s}=-\dfrac23\Rightarrow s'=-\dfrac{2\,s}{3}$

Se lleva esta relación a la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{-\frac{2s}{3}}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\Rightarrow -\dfrac{3}{2\,s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$

Se suman las dos fracciones del primer miembro:

$-\dfrac{5}{2\,s}=\dfrac{1}{f'}\Rightarrow s=-\dfrac{5\,f'}{2}=-2{,}5\,f'$

El objeto debe colocarse a dos veces y media la distancia focal de la lente. Y la imagen se forma en:

$s'=-\dfrac{2}{3}\cdot\left(-2{,}5\,f'\right)=\dfrac{5\,f'}{3}\approx1{,}67\,f'$



El resultado es coherente con el trazado de rayos. Al estar el objeto más allá del doble de la distancia focal, $|s|=2{,}5\,f'>2\,f'$, la imagen queda entre el foco imagen y el doble de la focal, es real, invertida y menor que el objeto, que es justo lo que pedía el enunciado.