Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

La longitud de onda de de Broglie de los electrones emitidos por un cierto metal es 1,5 nm cuando sobre él incide un cierto haz de luz. Teniendo en cuenta que el trabajo de extracción del metal tiene un valor de 1,3 eV, determine la longitud de onda de la luz incidente. ¿Pertenece al rango de la luz visible?

Datos: $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_{\text{e}} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $c_{0} = 3{,}00\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos da su cantidad de movimiento:

$\lambda_e=\dfrac{h}{p}\Rightarrow p=\dfrac{h}{\lambda_e}$

$p=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}5\cdot10^{-9}}=4{,}42\cdot10^{-25}\ \text{kg m/s}$





Con esa cantidad de movimiento se obtiene su energía cinética:

$E_c=\dfrac{p^{2}}{2\,m_e}=\dfrac{\left(4{,}42\cdot10^{-25}\right)^{2}}{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}}=1{,}07\cdot10^{-19}\ \text{J}=0{,}670\ \text{eV}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente es la suma del trabajo de extracción y de esa energía cinética:

$E=W_0+E_c=1{,}3\cdot1{,}60\cdot10^{-19}+1{,}07\cdot10^{-19}$

$E=2{,}08\cdot10^{-19}+1{,}07\cdot10^{-19}=3{,}15\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y de la energía del fotón sale su longitud de onda:

$E=h\dfrac{c_0}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\dfrac{h\,c_0}{E}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{3{,}15\cdot10^{-19}}$

$\lambda=6{,}31\cdot10^{-7}\ \text{m}=631\ \text{nm}$

Sí pertenece al visible. El espectro visible abarca aproximadamente de 400 a 700 nm, y 631 nm cae dentro, en la zona del anaranjado.