Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Sabiendo que la masa de la Luna es 81 veces menor que la de la Tierra y que la gravedad en su superficie es 6 veces menor que la gravedad terrestre, determine la velocidad de escape desde la superficie lunar.

Datos: $g_{0} = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$

La velocidad de escape desde la superficie de un astro se obtiene igualando a cero la energía mecánica del cuerpo lanzado:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^{2}-G\dfrac{M_L\,m}{R_L}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_L}{R_L}}$

Los datos del enunciado son la masa y la gravedad de la Luna en función de las terrestres:

$M_L=\dfrac{M_T}{81}=\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}}{81}=7{,}38\cdot10^{22}\ \text{kg}$

$g_L=\dfrac{g_0}{6}=\dfrac{9{,}80}{6}=1{,}63\ \text{m/s}^{2}$

Falta el radio lunar, que se obtiene precisamente de la relación entre la masa y la gravedad superficial:

$g_L=G\dfrac{M_L}{R_L^{2}}\Rightarrow R_L=\sqrt{\dfrac{G\,M_L}{g_L}}$

$R_L=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}38\cdot10^{22}}{1{,}63}}=1{,}74\cdot10^{6}\ \text{m}$

Con el radio ya se puede calcular la velocidad de escape. Conviene usar la forma $v_{\text{esc}}=\sqrt{2\,g_L\,R_L}$, equivalente a la anterior:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\cdot1{,}63\cdot1{,}74\cdot10^{6}}=2{,}38\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape desde la Luna es de unos 2,38 km/s, casi cinco veces menor que la terrestre. Es la razón por la que la Luna no ha conservado atmósfera.