Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2025

Un paciente se somete a una prueba diagnóstica en la que se le inyecta un fármaco que contiene tecnecio-99 metaestable (${}^{99}\text{Tc-m}$), cuyo periodo de semidesintegración es de 6 h. Este se fija en el órgano de interés y se detecta la emisión radiactiva que produce. La actividad inicial de la sustancia inyectada debe ser $5\cdot 10^{8}$ Bq. Calcule:

a) La masa de isótopo radiactivo que hay que inyectarle. (1 punto)
b) El tiempo que ha de transcurrir para que la actividad del isótopo sea de $10^{4}$ Bq. (1 punto)

Dato: $N_{\text{A}} = 6{,}022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$

$\textbf{a) La masa de isótopo radiactivo que hay que inyectarle. (1 punto)}$










La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar:

$A=\lambda\,N$

y la constante de desintegración sale del periodo de semidesintegración, pasado a segundos:

$T_{1/2}=6\ \text{h}=2{,}16\cdot10^{4}\ \text{s}$

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=3{,}21\cdot10^{-5}\ \text{s}^{-1}$





De la actividad inicial se despeja el número de núcleos que hacen falta:

$N=\dfrac{A_0}{\lambda}=\dfrac{5\cdot10^{8}}{3{,}21\cdot10^{-5}}=1{,}56\cdot10^{13}\ \text{núcleos}$

Y de ahí la masa, con una masa molar de 99 g/mol:

$m=\dfrac{N}{N_A}\cdot M=\dfrac{1{,}56\cdot10^{13}}{6{,}022\cdot10^{23}}\cdot99=2{,}56\cdot10^{-9}\ \text{g}$

Basta con inyectar unos $2{,}56\cdot10^{-9}$ gramos, es decir, dos nanogramos y medio: la cantidad de materia radiactiva que se administra en una prueba de este tipo es diminuta.

$\textbf{b) El tiempo que ha de transcurrir para que la actividad del isótopo sea de }\boldsymbol{10^{4}}\textbf{ Bq. (1 punto)}$

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se despeja el tiempo tomando logaritmos:

$t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}=\dfrac{1}{3{,}21\cdot10^{-5}}\ln\dfrac{5\cdot10^{8}}{10^{4}}$

$t=\dfrac{\ln\left(5\cdot10^{4}\right)}{3{,}21\cdot10^{-5}}=3{,}37\cdot10^{5}\ \text{s}$

Son unos $3{,}37\cdot10^{5}$ segundos, es decir, algo menos de cuatro días, o unos quince periodos de semidesintegración.