Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

Dos amigas han quedado para hacer puenting y, tras lanzarse, oscilan verticalmente. Suponga que para ello utilizan una cuerda de masa despreciable, que se comporta de forma similar a un muelle. Asimismo, desprecie el rozamiento.

a) La primera de ellas, de 50 kg de masa, realiza 4 oscilaciones en 20 s. Si la amplitud de la oscilación es 2,8 m, determine la variación de las energías mecánica, cinética y potencial con la posición vertical y represéntelas. (1,25 puntos)
b) Si su amiga, en cambio, tarda 3 s en realizar media oscilación, ¿cuál es su masa? (0,75 puntos)

$\textbf{a) La primera de ellas, de 50 kg de masa, realiza 4 oscilaciones en 20 s. Si la amplitud de la oscilación es 2,8 m, determine la variación de las energías mecánica, cinética y potencial con la posición vertical y represéntelas. (1,25 puntos)}$

La cuerda se comporta como un muelle, así que el movimiento es armónico simple. Del número de oscilaciones se obtiene el periodo:

$T=\dfrac{20}{4}=5\ \text{s}\Rightarrow \omega=\dfrac{2\pi}{T}=1{,}26\ \text{rad/s}$

La constante elástica sale de la relación entre la frecuencia angular y la masa:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Rightarrow k=m\,\omega^{2}=50\cdot1{,}26^{2}=79{,}0\ \text{N/m}$

La energía mecánica es constante en toda la oscilación y vale:

$E_M=\dfrac12\,k\,A^{2}=\dfrac12\cdot79{,}0\cdot2{,}8^{2}=310\ \text{J}$

La energía potencial depende de la posición medida desde el punto de equilibrio:

$E_p=\dfrac12\,k\,x^{2}=39{,}5\,x^{2}\ \text{J}$

Y la cinética es lo que le falta para completar la mecánica:

$E_c=E_M-E_p=310-39{,}5\,x^{2}\ \text{J}$



En la representación, la energía mecánica es la recta horizontal de 310 J; la potencial, una parábola que se anula en el punto de equilibrio y alcanza los 310 J en los extremos, y la cinética, la parábola invertida, máxima en el centro y nula en $x=\pm A$.

$\textbf{b) Si su amiga, en cambio, tarda 3 s en realizar media oscilación, ¿cuál es su masa? (0,75 puntos)}$

Media oscilación en 3 s significa un periodo de 6 s. La cuerda es la misma, de modo que la constante elástica no cambia:

$T'=2\pi\sqrt{\dfrac{m'}{k}}\Rightarrow m'=\dfrac{k\,T'^{2}}{4\pi^{2}}$

$m'=\dfrac{79{,}0\cdot6^{2}}{4\pi^{2}}=72{,}0\ \text{kg}$

La segunda amiga tiene una masa de 72 kg. Se puede comprobar de forma más rápida: como el periodo es proporcional a la raíz de la masa, al pasar de 5 s a 6 s la masa se multiplica por $(6/5)^{2}=1{,}44$, y $50\cdot1{,}44=72\ \text{kg}$.