Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un satélite describe una órbita circular de radio $5R_{\text{T}}$ alrededor de la Tierra. Calcule la velocidad mínima con la que debe lanzarse verticalmente desde la superficie terrestre para situarlo en dicha órbita. (1 punto)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{T}} = 6{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La velocidad mínima de lanzamiento es la que deja al satélite con exactamente la energía mecánica que le corresponde en la órbita final. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, la energía mecánica se conserva entre la superficie y la órbita:

$\dfrac12\,m\,v_0^{2}-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=E_{\text{órbita}}$





En una órbita circular la energía mecánica vale la mitad de la potencial:

$E_{\text{órbita}}=-G\dfrac{M_T\,m}{2\,r}=-G\dfrac{M_T\,m}{2\cdot5R_T}=-G\dfrac{M_T\,m}{10\,R_T}$

Se sustituye y se simplifica la masa del satélite:

$\dfrac12\,v_0^{2}=G\dfrac{M_T}{R_T}-G\dfrac{M_T}{10\,R_T}=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{G\,M_T}{R_T}$

$v_0=\sqrt{\dfrac{9\,G\,M_T}{5\,R_T}}=\sqrt{\dfrac{9\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{5\cdot6{,}38\cdot10^{6}}}=1{,}06\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Hay que lanzarlo a $1{,}06\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, algo menos que la velocidad de escape, que vale $1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s}$: tiene sentido, porque el satélite se queda ligado a la Tierra en vez de escapar.