Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

En la película Gravity, el astronauta Matt Kowalski (interpretado por George Clooney) se encuentra orbitando la Tierra tras un accidente en el espacio. Supongamos que su masa con el traje espacial es de 100 kg, y que su órbita se encuentra a una altura $h = 1000\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre.

a) Determine su energía potencial gravitatoria. Para este cálculo, ¿podría utilizarse la expresión $E = m\,g\,h$? Explique su respuesta. (1 punto)
b) Calcule la velocidad de Kowalski mientras orbita. (1 punto)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{T}} = 6{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$\textbf{a) Determine su energía potencial gravitatoria. Para este cálculo, ¿podría utilizarse la expresión } \boldsymbol{E = m\,g\,h}\textbf{? Explique su respuesta. (1 punto)}$










La energía potencial gravitatoria de una masa situada a una distancia $r$ del centro de la Tierra es:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

y el radio de la órbita se mide desde ese centro:

$r=R_T+h=6{,}38\cdot10^{6}+1{,}0\cdot10^{6}=7{,}38\cdot10^{6}\ \text{m}$





$E_p=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot100}{7{,}38\cdot10^{6}}=-5{,}40\cdot10^{9}\ \text{J}$

No, no se puede utilizar $E=m\,g\,h$. Esa expresión es una aproximación válida solo cuando la altura es pequeña frente al radio terrestre, porque entonces la intensidad del campo apenas cambia y se puede tomar $g$ como constante. Aquí la altura es de 1000 km, alrededor del 16 % del radio de la Tierra, y a esa distancia el campo ya ha bajado de $9{,}8$ a unos $7{,}3\ \text{m/s}^{2}$.

Además, $m\,g\,h$ toma la superficie como origen de energías, mientras que la expresión general lo toma en el infinito. Son dos escalas distintas: la primera solo sirve para calcular diferencias de energía cerca del suelo, no el valor absoluto que pide el apartado.

$\textbf{b) Calcule la velocidad de Kowalski mientras orbita. (1 punto)}$

La atracción gravitatoria es la única fuerza y hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{v^{2}}{r}$

Se simplifica la masa y se despeja la velocidad orbital:

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{7{,}38\cdot10^{6}}}=7{,}35\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Kowalski orbita a unos 7,35 km/s, es decir, más de 26 000 km/h. Obsérvese que la velocidad no depende de su masa: da igual que lleve el traje espacial o no.