Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Tierra, de forma que alcanza una altura de 4 m.

a) Despreciando el rozamiento con el aire, determine la velocidad inicial con la que fue lanzado. (0,8 puntos)
b) Si se hubiese lanzado con la misma velocidad desde la superficie de un asteroide esférico, cuya densidad media es la mitad que la de la Tierra, ¿cuál debería ser el diámetro máximo del asteroide para que el objeto escape de su acción gravitatoria? (1,2 puntos)

Datos: $g_{0} = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{T}} = 6{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$\textbf{a) Despreciando el rozamiento con el aire, determine la velocidad inicial con la que fue lanzado. (0,8 puntos)}$










Cuatro metros son despreciables frente al radio terrestre, así que se puede tomar el campo gravitatorio como uniforme y de valor $g_0$. Al no haber rozamiento se conserva la energía mecánica entre el punto de lanzamiento y el punto más alto, donde la velocidad es nula:

$\dfrac12\,m\,v_0^{2}=m\,g_0\,h$





Se simplifica la masa y se despeja la velocidad inicial:

$v_0=\sqrt{2\,g_0\,h}=\sqrt{2\cdot9{,}80\cdot4}=8{,}85\ \text{m/s}$

$\textbf{b) Si se hubiese lanzado con la misma velocidad desde la superficie de un asteroide esférico, cuya densidad media es la mitad que la de la Tierra, ¿cuál debería ser el diámetro máximo del asteroide para que el objeto escape de su acción gravitatoria? (1,2 puntos)}$

El objeto escapa si su velocidad inicial iguala como mínimo a la velocidad de escape del asteroide:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_a}{R_a}}$

La masa del asteroide se escribe en función de su densidad, que es lo que da el enunciado:

$M_a=\rho_a\cdot\dfrac43\pi R_a^{3}$

Al sustituirla, el radio deja de estar en el denominador:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G}{R_a}\cdot\rho_a\cdot\dfrac43\pi R_a^{3}}=R_a\sqrt{\dfrac{8\pi\,G\,\rho_a}{3}}$

Primero hace falta la densidad de la Tierra, que sale de su masa y de su radio:

$\rho_T=\dfrac{M_T}{\frac43\pi R_T^{3}}=\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}}{\frac43\pi\left(6{,}38\cdot10^{6}\right)^{3}}=5{,}50\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$

$\rho_a=\dfrac{\rho_T}{2}=2{,}75\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$

Se impone ahora que la velocidad de escape no supere a la del lanzamiento:

$R_a\sqrt{\dfrac{8\pi\,G\,\rho_a}{3}}\leq v_0\Rightarrow R_a\leq\dfrac{v_0}{\sqrt{\frac{8\pi\,G\,\rho_a}{3}}}$

$R_a\leq\dfrac{8{,}85}{\sqrt{\dfrac{8\pi\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}75\cdot10^{3}}{3}}}=7{,}14\cdot10^{3}\ \text{m}$

Y el diámetro máximo es el doble:

$D_a=2\,R_a=1{,}43\cdot10^{4}\ \text{m}$

El asteroide no puede medir más de unos 14,3 km de diámetro. Si fuese mayor, la velocidad de escape superaría a los 8,85 m/s del lanzamiento y el objeto volvería a caer.