Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2026

Un electrón se introduce en un acelerador lineal de partículas donde adquiere una velocidad de $\mathrm{2,65}\cdot {10}^6\text{ m}{\text{s}}^{-1}$ debido a la acción de un campo eléctrico uniforme.

a) Calcule la longitud de onda asociada al electrón. (1 punto)
b) Indique la precisión máxima con la que se puede calcular la posición del electrón sabiendo que el valor de su velocidad tiene asociada una incertidumbre del 10 %. (1 punto)

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; $m_{\text{e}}=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Por la hipótesis de De Broglie, a toda partícula en movimiento le corresponde una onda cuya longitud de onda es:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}$

Se sustituyen los datos del enunciado:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{2,65}\cdot {10}^6}}=\mathrm{2,75}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$

La longitud de onda asociada al electrón es de $\mathrm{2,75}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$, del orden del tamaño de un átomo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{precisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{incertidumbre}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una incertidumbre del 10 % en la velocidad significa:

$\mathrm{\Delta }v=\mathrm{0,10}\cdot v=\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{2,65}\cdot {10}^6=\mathrm{2,65}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

y la indeterminación correspondiente en la cantidad de movimiento es:

$\mathrm{\Delta }p=m_e\mathrm{\Delta }v=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{2,65}\cdot {10}^5=\mathrm{2,41}\cdot {10}^{-25}\text{ kg m/s}$

El principio de indeterminación de Heisenberg relaciona las indeterminaciones de la posición y de la cantidad de movimiento:

$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}$

$\mathrm{\Delta }x\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi \mathrm{\Delta }p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{4\pi \cdot \mathrm{2,41}\cdot {10}^{-25}}}=\mathrm{2,19}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$

La posición del electrón no se puede conocer con una precisión mejor que $\mathrm{2,19}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$, que es del mismo orden que su longitud de onda asociada.