Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El satélite Astra 2C, de masa 6000 kg, empleado para emitir señales de televisión, describe una órbita circular geoestacionaria.

a) Calcule la altura a la que orbita respecto a la superficie de la Tierra y la velocidad con la que se mueve. (1 punto)
b) Calcule la energía necesaria para llevar el Astra 2C desde la superficie de la Tierra hasta su órbita. (1 punto)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{T}} = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{T}} = 6{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$\textbf{a) Calcule la altura a la que orbita respecto a la superficie de la Tierra y la velocidad con la que se mueve. (1 punto)}$










Que la órbita sea geoestacionaria significa que el satélite gira con el mismo periodo que la Tierra, de manera que se ve siempre sobre el mismo punto del ecuador:

$T=24\ \text{h}\cdot 3600\ \dfrac{\text{s}}{\text{h}}=8{,}64\cdot10^{4}\ \text{s}$

La única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}$





Sustituyendo $v=2\pi r/T$ y despejando el radio se obtiene la tercera ley de Kepler:

$G\dfrac{M_T}{r^2}=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot\left(8{,}64\cdot10^{4}\right)^2}{4\pi^2}}=4{,}23\cdot10^{7}\ \text{m}$

La altura sobre la superficie es la diferencia entre el radio de la órbita y el radio terrestre:

$h=r-R_T=4{,}23\cdot10^{7}-6{,}38\cdot10^{6}=3{,}59\cdot10^{7}\ \text{m}$

Y la velocidad orbital, del propio movimiento circular uniforme:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}=\dfrac{2\pi\cdot4{,}23\cdot10^{7}}{8{,}64\cdot10^{4}}=3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El Astra 2C orbita a $3{,}59\cdot10^{7}\ \text{m}$ de altura, unos 35 900 km, y se mueve a $3{,}07\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) Calcule la energía necesaria para llevar el Astra 2C desde la superficie de la Tierra hasta su órbita. (1 punto)}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica que tiene el satélite en la órbita y la que tenía en la superficie.

En la órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E_{\text{órbita}}=\dfrac12\,m\,v^2-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}$

$E_{\text{órbita}}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot6000}{2\cdot4{,}23\cdot10^{7}}=-2{,}83\cdot10^{10}\ \text{J}$

En la superficie el satélite está en reposo, de modo que solo tiene energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot6000}{6{,}38\cdot10^{6}}=-3{,}75\cdot10^{11}\ \text{J}$

Por tanto, la energía que hay que suministrar es:

$\Delta E=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}=-2{,}83\cdot10^{10}+3{,}75\cdot10^{11}=3{,}47\cdot10^{11}\ \text{J}$

Hacen falta $3{,}47\cdot10^{11}\ \text{J}$ para colocar el satélite en su órbita.