Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Un objeto de masa $m$ ligado a un muelle realiza un movimiento oscilatorio de amplitud $A$. En la gráfica adjunta se representa la variación de su energía cinética respecto a la posición a lo largo de una oscilación completa. Compare esta representación con la que se obtendría para otro objeto de masa $4m$ ligado al mismo muelle si la amplitud de su oscilación fuese $A/2$. Represente también la energía potencial y la mecánica en este caso. ¿Se modificaría el periodo de este movimiento respecto al del primer objeto? Razone la respuesta. (1 punto)

En un movimiento armónico simple la energía mecánica se reparte entre cinética y potencial elástica:

$E_M=E_c+E_p=\dfrac12\,k\,A^2$

$E_c=\dfrac12\,k\left(A^2-x^2\right)\qquad E_p=\dfrac12\,k\,x^2$

La energía cinética es, por tanto, una parábola invertida que vale $E_{c,\text{máx}}=\frac12kA^2$ en el centro y se anula en los extremos.





El segundo objeto está ligado al mismo muelle, así que su constante elástica $k$ es la misma, y oscila con amplitud $A/2$. Su energía mecánica es:

$E_M'=\dfrac12\,k\left(\dfrac{A}{2}\right)^2=\dfrac14\cdot\dfrac12\,k\,A^2=\dfrac{E_M}{4}$

La nueva curva de energía cinética es entonces:

$E_c'=\dfrac12\,k\left(\dfrac{A^2}{4}-x^2\right)$

En la figura se ha dibujado en trazo discontinuo la curva del primer objeto y en trazo continuo las tres energías del segundo. Comparando ambas representaciones:

El coeficiente que multiplica a $x^2$ es $-\frac12k$ en las dos, porque el muelle es el mismo: las dos parábolas son idénticas en forma y una es la otra desplazada hacia abajo.

El máximo de la energía cinética baja a la cuarta parte, y la curva corta al eje en $x=\pm A/2$ en vez de en $x=\pm A$, porque el objeto ya no llega más lejos.

La energía potencial es la parábola $E_p=\frac12kx^2$, que parte de cero en el centro y alcanza el valor $E_M'$ en los extremos, y la energía mecánica es la recta horizontal $E_M'=E_c'+E_p'$, constante en toda la oscilación.

Sobre el periodo, en un oscilador armónico:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

El periodo no depende de la amplitud, pero sí de la masa. Al pasar de $m$ a $4m$ con el mismo muelle:

$T'=2\pi\sqrt{\dfrac{4m}{k}}=2\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\,T$

Sí se modifica: el segundo objeto tarda el doble en completar una oscilación.