Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El tiempo que tarda el servidor de una empresa de venta online en registrar un pedido sigue una ley de probabilidad normal de media 0.16 minutos y desviación típica 0.37 minutos. Al comienzo de un viernes negro la empresa recibe 365 pedidos.

a) Calcular la probabilidad de que el servidor tarde más de 73 minutos en registrar los 365 pedidos.
b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio de registro de esos 365 pedidos sea menor o igual que 0.18 minutos.

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que el servidor tarde más de 73 minutos en registrar los 365 pedidos.}$

El tiempo de un pedido sigue una $N(0{,}16;\,0{,}37)$. El tiempo total de los 365 pedidos es la suma de 365 variables independientes con esa distribución, así que

$T\sim N\left(n\mu,\ \sigma\sqrt{n}\right) =N\left(365\cdot 0{,}16,\ 0{,}37\sqrt{365}\right)=N(58{,}4;\,7{,}07)$

Se tipifica el valor 73:

$P(T>73)=P\left(Z>\dfrac{73-58{,}4}{7{,}07}\right) =P\left(Z>\dfrac{14{,}6}{7{,}07}\right)=P(Z>2{,}07)$



La tabla da la probabilidad acumulada a la izquierda, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z>2{,}07)=1-P(Z\leq 2{,}07)=1-0{,}9808=0{,}0192$

La probabilidad de que el servidor tarde más de 73 minutos en registrar los 365 pedidos es de 0,0192.

$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio de registro de esos 365 pedidos sea menor o igual que 0,18 minutos.}$

Ahora la variable que interesa es la media muestral, que sigue

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(0{,}16,\dfrac{0{,}37}{\sqrt{365}}\right)=N(0{,}16;\,0{,}0194)$

Se tipifica el valor 0,18:

$P(\overline{X}\leq 0{,}18)=P\left(Z\leq\dfrac{0{,}18-0{,}16}{0{,}0194}\right) =P\left(Z\leq\dfrac{0{,}02}{0{,}0194}\right)=P(Z\leq 1{,}03)$



Se lee directamente en la tabla:

$P(Z\leq 1{,}03)=0{,}8485$

La probabilidad de que el tiempo medio de registro sea menor o igual que 0,18 minutos es de 0,8485.