Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Para ir a clase, un estudiante utiliza su coche el 70 % de los días, mientras que va en autobús el resto de los días. Cuando utiliza su coche, llega tarde el 20 % de los días, mientras que si va en autobús llega a tiempo el 10 % de los días. Elegido un día al azar:

a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde.
b) Si ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús?

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde.}$

Se elige un día al azar y se nombran los sucesos:

$C \equiv$ el estudiante utiliza su coche,
$A \equiv$ el estudiante va en autobús,
$T \equiv$ el estudiante llega tarde.

Usa el coche el 70 % de los días y el autobús el resto:

$P(C)=0{,}70;\quad P(A)=1-0{,}70=0{,}30$

Con el coche llega tarde el 20 % de los días. En autobús el enunciado da el porcentaje de días que llega a tiempo, así que hay que pasar al contrario:

$P(T/C)=0{,}20;\qquad P(T/A)=1-0{,}10=0{,}90$

Los sucesos $C$ y $A$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(T)=P(C)\cdot P(T/C)+P(A)\cdot P(T/A)$

$P(T)=0{,}70\cdot 0{,}20+0{,}30\cdot 0{,}90=0{,}14+0{,}27=0{,}41$

La probabilidad de que el estudiante llegue tarde es de 0,41.

$\textbf{b) Si ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús?}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad del suceso contrario:

$P(\overline{T})=1-0{,}41=0{,}59$

$P(A/\overline{T})=\dfrac{P(A)\cdot P(\overline{T}/A)}{P(\overline{T})} =\dfrac{0{,}30\cdot 0{,}10}{0{,}59}=\dfrac{0{,}03}{0{,}59}$

$P(A/\overline{T})=\dfrac{3}{59}\approx 0{,}0508$

Si ha llegado a tiempo, la probabilidad de que haya venido en autobús es de solo $\dfrac{3}{59}\approx 0{,}0508$: el autobús le hace llegar tarde casi siempre, así que los días puntuales son casi todos días de coche.