Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La cotización en euros de la criptomoneda Bitcoin en un determinado día del pasado año siguió la función $f(t)=20t^2-200t+1000$ donde $t$ es el tiempo medido en horas desde el comienzo del día.

a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función $f(t)$.
b) ¿Cuánto se paga por la compra de 10 Bitcoins en el momento de mínima cotización de ese día?

$\textbf{a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(t)}\textbf{.}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada.

$f(t)=20t^2-200t+1000 \Rightarrow f'(t)=40t-200$

$f'(t)=0 \Rightarrow 40t=200 \Rightarrow t=5$

El día tiene 24 horas, así que ese punto parte $[0,24]$ en dos tramos. Se toma un valor de prueba en cada uno:

$f'(2)=80-200=-120<0$, la cotización decrece.

$f'(8)=320-200=120>0$, la cotización crece.



La cotización decrece en $(0,5)$ y crece en $(5,24)$. Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $t=5$ hay un mínimo, cosa coherente con que la función sea una parábola con las ramas hacia arriba ($20>0$).

$\textbf{b) ¿Cuánto se paga por la compra de 10 Bitcoins en el momento de mínima cotización de ese día?}$

El mínimo se alcanza a las 5 horas del comienzo del día, y la cotización en ese momento es

$f(5)=20\cdot 5^2-200\cdot 5+1000=500-1000+1000=500$

es decir, 500 euros por Bitcoin. Por 10 Bitcoins se pagarían

$10\cdot 500=5000$

En el momento de mínima cotización, 10 Bitcoins cuestan 5000 euros.