Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

La asociación «Stop Stress» tiene 60 personas asociadas que practican solo una de las siguientes actividades: correr, yoga o natación. Se sabe que hay 18 personas menos en la actividad de correr que la suma de personas que practican yoga y natación. Además, la séptima parte de las personas que corren es igual a la quinta parte de las que practican yoga.

Calcular el número de personas que realiza cada una de las actividades. (3 puntos)

Se llama $x$ al número de personas que corren, $y$ a las que practican yoga y $z$ a las que practican natación.

La asociación tiene 60 personas y cada una practica solo una actividad:

$x+y+z=60$

Hay 18 personas menos corriendo que la suma de las que hacen yoga y natación:

$x=(y+z)-18$

Y la séptima parte de las que corren es igual a la quinta parte de las que hacen yoga:

$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{5} \Rightarrow 5x=7y$

Se reúnen las tres condiciones en un sistema:

$\begin{cases} x+y+z=60 \\ x=y+z-18 \\ 5x=7y \end{cases}$

De la primera ecuación, $y+z=60-x$. Se sustituye en la segunda:

$x=(60-x)-18 \Rightarrow x=42-x \Rightarrow 2x=42 \Rightarrow x=21$

De la tercera:

$5\cdot 21=7y \Rightarrow 105=7y \Rightarrow y=15$

Y de la primera:

$z=60-21-15=24$

Se comprueban las tres condiciones: $21+15+24=60$; $15+24-18=21$; y $\dfrac{21}{7}=3=\dfrac{15}{5}$.

Corren 21 personas, practican yoga 15 y natación 24.