Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Las pruebas realizadas de un nuevo modelo de teléfono móvil aseguran que la ley de probabilidad de la vida útil del teléfono sin averías (en meses) es normal de media 32 meses y desviación típica 12.5 meses. La campaña de lanzamiento del nuevo modelo ofrece la sustitución gratuita del móvil por cualquier avería aparecida en los primeros 4 meses.

a) Calcular la probabilidad de que haya que sustituir un móvil adquirido durante la campaña de lanzamiento.
b) Si una tienda vende 64 teléfonos móviles del nuevo modelo el primer día de campaña, determinar la probabilidad de que el tiempo medio sin averías de esos móviles sea superior a 36 meses.

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que haya que sustituir un móvil adquirido durante la campaña de lanzamiento.}$

Se llama $X$ a la vida útil sin averías, en meses, de un teléfono. Por el enunciado

$X\sim N(32;\,12{,}5)$

Hay que sustituir el móvil si la avería aparece en los primeros 4 meses, es decir, si $X<4$. Se tipifica:

$P(X<4)=P\left(Z<\dfrac{4-32}{12{,}5}\right)=P\left(Z<\dfrac{-28}{12{,}5}\right) =P(Z<-2{,}24)$



Como la tabla solo da valores positivos, se usa la simetría de la campana:

$P(Z<-2{,}24)=1-P(Z<2{,}24)=1-0{,}9875=0{,}0125$

La probabilidad de que haya que sustituir un móvil es de 0,0125, es decir, un 1,25 %.

$\textbf{b) Si una tienda vende 64 teléfonos móviles del nuevo modelo el primer día de campaña, determinar la probabilidad de que el tiempo medio sin averías de esos móviles sea superior a 36 meses.}$

Ahora la variable que interesa es la media muestral, que sigue

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(32,\dfrac{12{,}5}{\sqrt{64}}\right)=N\left(32,\dfrac{12{,}5}{8}\right) =N(32;\,1{,}5625)$

Se tipifica el valor 36:

$P(\overline{X}>36)=P\left(Z>\dfrac{36-32}{1{,}5625}\right) =P\left(Z>\dfrac{4}{1{,}5625}\right)=P(Z>2{,}56)$



Se pasa al suceso contrario:

$P(Z>2{,}56)=1-P(Z\leq 2{,}56)=1-0{,}9948=0{,}0052$

La probabilidad de que el tiempo medio sin averías de esos 64 móviles supere los 36 meses es de 0,0052.