Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 euros mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad.

a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 euros?
b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

$\textbf{a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 euros?}$

Se elige un cliente al azar y se nombran los sucesos:

$H \equiv$ el cliente elegido es hombre,
$M \equiv$ el cliente elegido es mujer,
$I \equiv$ el cliente elegido recibió un crédito inferior a 6000 euros.

El 30 % de los clientes son hombres y el 70 % mujeres:

$P(H)=0{,}30;\quad P(M)=0{,}70$

El 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 euros. En cuanto a las mujeres, el enunciado da el porcentaje de las que recibieron un crédito igual o superior a esa cantidad, así que hay que pasar al contrario:

$P(I/H)=0{,}20;\qquad P(I/M)=1-0{,}72=0{,}28$

Los sucesos $H$ y $M$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(I)=P(H)\cdot P(I/H)+P(M)\cdot P(I/M)$

$P(I)=0{,}30\cdot 0{,}20+0{,}70\cdot 0{,}28=0{,}06+0{,}196=0{,}256$

La probabilidad de que el cliente elegido haya recibido un crédito inferior a 6000 euros es de 0,256.

$\textbf{b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(M/I)=\dfrac{P(M)\cdot P(I/M)}{P(I)}=\dfrac{0{,}70\cdot 0{,}28}{0{,}256} =\dfrac{0{,}196}{0{,}256}$

$P(M/I)=\dfrac{49}{64}\approx 0{,}7656$

Entre los clientes que recibieron un crédito inferior a 6000 euros, la probabilidad de que el elegido sea mujer es $\dfrac{49}{64}\approx 0{,}7656$.