Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

La temperatura adecuada para el desarrollo vegetativo en el cultivo de tomates no debe exceder los 23 grados Celsius y en ningún caso debe bajar de 7 grados Celsius. La siguiente función expresa la temperatura, en grados Celsius, el día 14 de agosto en una zona de cultivo:

$T(x)=\dfrac{-1}{14}x^2+2x+10$

donde $x \in [0,24]$ es la hora del día.

a) Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si ésta supera los 23 grados Celsius.
b) ¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7 grados Celsius el 14 de agosto?

$\textbf{a) Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si ésta supera los 23 grados Celsius.}$

Se busca el máximo derivando e igualando a cero.

$T(x)=\dfrac{-1}{14}x^2+2x+10 \Rightarrow T'(x)=\dfrac{-2x}{14}+2=-\dfrac{x}{7}+2$

$T'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{x}{7}=2 \Rightarrow x=14$

El valor pertenece a $[0,24]$. Se comprueba con la segunda derivada:

$T''(x)=-\dfrac{1}{7}<0$

luego en $x=14$ hay un máximo. Se calcula la temperatura en ese instante:

$T(14)=\dfrac{-196}{14}+28+10=-14+38=24$



La temperatura máxima se alcanza a las 14 horas y es de 24 grados Celsius, de modo que SÍ supera los 23 grados que marca el enunciado como límite superior para el desarrollo vegetativo.

$\textbf{b) ¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7 grados Celsius el 14 de agosto?}$

Se resuelve la inecuación $T(x)<7$ dentro de $[0,24]$.

$\dfrac{-1}{14}x^2+2x+10<7 \Rightarrow \dfrac{-1}{14}x^2+2x+3<0$

Se multiplica por $-14$, invirtiendo la desigualdad:

$x^2-28x-42>0$

Se buscan las raíces del polinomio:

$x=\dfrac{28\pm\sqrt{784+168}}{2}=\dfrac{28\pm\sqrt{952}}{2}=14\pm\sqrt{238}$

$x\approx -1{,}43 \quad\text{y}\quad x\approx 29{,}43$

La parábola $x^2-28x-42$ tiene las ramas hacia arriba, así que es positiva fuera del intervalo que forman sus raíces. Como las dos raíces caen fuera de $[0,24]$, en todo el día se cumple

$x^2-28x-42<0 \quad\Longleftrightarrow\quad T(x)>7$

Basta comprobarlo en los extremos:

$T(0)=10>7;\qquad T(24)=\dfrac{-576}{14}+48+10\approx 16{,}86>7$

No: la zona de cultivo no bajó en ningún momento de los 7 grados Celsius el 14 de agosto. La temperatura más baja del día, 10 grados, se dio a las 0 horas.