Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa utiliza 4 horas de trabajo de electrónica y 2 horas de trabajo de montaje por cada televisor LED que fabrica, y 3 horas de trabajo de electrónica y 1 hora de trabajo de montaje por cada televisor QLED. La empresa dispone de un máximo de 2400 horas de trabajo de electrónica y un máximo de 1000 horas de trabajo de montaje. Para satisfacer la demanda, la empresa debe fabricar al menos 200 televisores QLED. El beneficio obtenido en cada televisor LED es de 70 euros y en cada televisor QLED es de 50 euros.

Utilizar técnicas de programación lineal para determinar el número de televisores de cada tipo que la empresa debe fabricar para que el beneficio sea máximo, así como ese beneficio máximo. (3 puntos)

Se llama $x$ al número de televisores LED e $y$ al número de televisores QLED que se fabrican.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Televisor}$	$\text{Electrónica (h)}$	$\text{Montaje (h)}$	$\text{Beneficio (euros)}$
LED ($x$)	$4x$	$2x$	$70x$
QLED ($y$)	$3y$	$y$	$50y$
Disponible	$2400$	$1000$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$z=f(x,y)=70x+50y$

Las restricciones son:

Electrónica: $4x+3y\leq 2400$.

Montaje: $2x+y\leq 1000$.

Hay que fabricar al menos 200 televisores QLED: $y\geq 200$.

El número de televisores no puede ser negativo: $x\geq 0$.

$\begin{cases} 4x+3y\leq 2400 \\ 2x+y\leq 1000 \\ y\geq 200 \\ x\geq 0 \end{cases}$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$4x+3y=2400$

$x$	$y=\dfrac{2400-4x}{3}$
0	800
300	400

$2x+y=1000$

$x$	$y=1000-2x$
300	400
400	200

Los vértices son:

Vértice $A$: corte de $x=0$ con $y=200$ $\Rightarrow A(0,200)$.

Vértice $B$: corte de $y=200$ con $2x+y=1000$.

$2x+200=1000 \Rightarrow x=400 \Rightarrow B(400,200)$

Vértice $C$: corte de $2x+y=1000$ con $4x+3y=2400$. De la primera, $y=1000-2x$:

$4x+3(1000-2x)=2400 \Rightarrow 4x+3000-6x=2400 \Rightarrow -2x=-600$

$x=300 \Rightarrow y=400 \Rightarrow C(300,400)$

Vértice $D$: corte de $4x+3y=2400$ con $x=0$ $\Rightarrow y=800 \Rightarrow D(0,800)$.

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(A)=f(0,200)=50\cdot 200=10000$

$f(B)=f(400,200)=28000+10000=38000$

$f(C)=f(300,400)=21000+20000=41000$

$f(D)=f(0,800)=50\cdot 800=40000$

El máximo se alcanza en el vértice $C(300,400)$, donde el montaje se agota por completo:

$2\cdot 300+400=1000$ horas.

Hay que fabricar 300 televisores LED y 400 QLED, con un beneficio máximo de 41000 euros.