Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El peso de la población adulta con sobrepeso sigue una distribución normal de media 120 kg y desviación típica de 20 kg. Además, a los individuos con un peso superior a 150 kg se les considera «individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A».

a) ¿Qué porcentaje de la población de adultos con sobrepeso son «individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A»?
b) Si se elige aleatoriamente una muestra de 20 adultos con sobrepeso, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra esté entre 110 kg y 125 kg.

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de la población de adultos con sobrepeso son «individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A»?}$

Se llama $X$ al peso, en kilogramos, de un adulto con sobrepeso. Por el enunciado

$X\sim N(120,20)$

Se consideran de riesgo los que pesan más de 150 kg, así que se pide $P(X>150)$. Se tipifica:

$P(X>150)=P\left(Z>\dfrac{150-120}{20}\right)=P(Z>1{,}5)$



La tabla da la probabilidad acumulada a la izquierda, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z>1{,}5)=1-P(Z\leq 1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$

Un 6,68 % de la población de adultos con sobrepeso son individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A.

$\textbf{b) Si se elige aleatoriamente una muestra de 20 adultos con sobrepeso, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra esté entre 110 kg y 125 kg.}$

Ahora la variable que interesa es la media muestral, que sigue

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(120,\dfrac{20}{\sqrt{20}}\right)=N(120;\,4{,}47)$

Se tipifican los dos extremos:

$z_1=\dfrac{110-120}{4{,}47}=-2{,}24;\qquad z_2=\dfrac{125-120}{4{,}47}=1{,}12$



$P(110<\overline{X}<125)=P(-2{,}24<Z<1{,}12)=P(Z<1{,}12)-P(Z<-2{,}24)$

Como la tabla solo da valores positivos, se usa la simetría de la campana:

$P(Z<1{,}12)=0{,}8686;\qquad P(Z<-2{,}24)=1-0{,}9875=0{,}0125$

$P(110<\overline{X}<125)=0{,}8686-0{,}0125=0{,}8561$

La probabilidad de que el peso medio de los 20 adultos esté entre 110 y 125 kg es de 0,8561.