Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Se considera la función:

$f(x)=\begin{cases} 4-x^2 & \text{si } x \leq 1 \\[2mm] \dfrac{b}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$

a) Determinar el valor de $b$ para que $f(x)$ sea continua.
b) Calcular el área delimitada por $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $(0,1)$.

$\textbf{a) Determinar el valor de } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua.}$

Los dos trozos son continuos por separado: el primero es un polinomio y el segundo, $\dfrac{b}{x}$, solo se indefine en $x=0$, valor que no cumple $x>1$.

El único punto dudoso es el empalme, $x=1$.

Valor de la función y límite por la izquierda. Como $x=1$ cumple $x\leq 1$, se usa el primer trozo:

$f(1)=4-1^2=3$

Límite por la derecha:

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{b}{x}=\dfrac{b}{1}=b$

Se igualan:

$b=3$

Con $b=3$ la función es continua en todo su dominio.

$\textbf{b) Calcular el área delimitada por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje OX en el intervalo } \boldsymbol{(0,1)}\textbf{.}$

Todo el intervalo $(0,1)$ cumple $x\leq 1$, así que en él la función es $f(x)=4-x^2$. Se comprueba su signo: entre 0 y 1 se tiene $x^2<1$, luego

$f(x)=4-x^2>3>0$

El recinto queda por encima del eje y el área coincide con la integral.



$A=\int_{0}^{1}\left(4-x^2\right)dx=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} =\left(4-\dfrac{1}{3}\right)-0=\dfrac{11}{3}$

El área delimitada por la función y el eje OX en el intervalo $(0,1)$ es de $\dfrac{11}{3}\approx 3{,}67$ unidades cuadradas.