Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $a$:

$\begin{cases} x-2y+z=1 \\ x+y-az=1 \\ x+2y-2z=-2 \end{cases}$

a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$.
b) Resolver el sistema para $a=1$.

$\textbf{a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -a \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad A^*=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -a & 1 \\ 1 & 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$|A|=1\begin{vmatrix} 1 & -a \\ 2 & -2 \end{vmatrix} +2\begin{vmatrix} 1 & -a \\ 1 & -2 \end{vmatrix} +1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$|A|=(-2+2a)+2(-2+a)+(2-1)=-2+2a-4+2a+1=4a-5$

$|A|=0 \Rightarrow 4a-5=0 \Rightarrow a=\dfrac{5}{4}$

Primer caso: $a\neq\dfrac{5}{4}$.

Entonces $|A|\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=\dfrac{5}{4}$.

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1+2=3\neq 0$

y como $|A|=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} =1(-2-2)+2(-2-1)+(2-1)=-4-6+1=-9\neq 0$

Luego $\text{rg}(A^*)=3\neq 2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\neq\dfrac{5}{4}$ el sistema es compatible determinado y para $a=\dfrac{5}{4}$ es incompatible.

$\textbf{b) Resolver el sistema para } \boldsymbol{a=1}\textbf{.}$

Con $a=1$ se tiene $|A|=4-5=-1\neq 0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\begin{cases} x-2y+z=1 \\ x+y-z=1 \\ x+2y-2z=-2 \end{cases}$

Se suman las dos primeras ecuaciones, con lo que desaparece $z$:

$2x-y=2 \Rightarrow y=2x-2$

De la segunda ecuación se despeja $z$ y se sustituye $y$:

$z=x+y-1=x+(2x-2)-1=3x-3$

Se lleva todo a la tercera ecuación:

$x+2(2x-2)-2(3x-3)=-2 \Rightarrow x+4x-4-6x+6=-2 \Rightarrow -x+2=-2$

$x=4$

Se deshace el camino:

$y=2\cdot 4-2=6;\qquad z=3\cdot 4-3=9$

Se comprueba en la primera ecuación:

$4-12+9=1$

La solución es $x=4$, $y=6$ y $z=9$.