Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El tiempo que tarda un auditor en revisar un expediente se ajusta a una distribución normal con media 30 minutos y desviación típica de 10 minutos. Si al principio de una semana se le entregan 75 expedientes:

a) Calcular la probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes si en esa semana el auditor trabaja 35 horas (2100 minutos).
b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a revisar los 75 expedientes esté entre 28 y 33 minutos.

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes si en esa semana el auditor trabaja 35 horas (2100 minutos).}$

El tiempo de un expediente sigue una $N(30,10)$. El tiempo total de los 75 expedientes es la suma de 75 variables independientes con esa distribución, así que

$T\sim N\left(n\mu,\ \sigma\sqrt{n}\right)=N\left(75\cdot 30,\ 10\sqrt{75}\right) =N(2250;\,86{,}60)$

Que le dé tiempo significa que el total no pase de 2100 minutos. Se tipifica:

$P(T\leq 2100)=P\left(Z\leq\dfrac{2100-2250}{86{,}60}\right) =P\left(Z\leq\dfrac{-150}{86{,}60}\right)=P(Z\leq -1{,}73)$



Como la tabla solo da valores positivos, se usa la simetría de la campana:

$P(Z\leq -1{,}73)=1-P(Z\leq 1{,}73)=1-0{,}9582=0{,}0418$

La probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes es de solo 0,0418, es decir, un 4,18 %.

$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a revisar los 75 expedientes esté entre 28 y 33 minutos.}$

Ahora la variable que interesa es la media muestral, que sigue

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(30,\dfrac{10}{\sqrt{75}}\right)=N(30;\,1{,}15)$

Se tipifican los dos extremos:

$z_1=\dfrac{28-30}{1{,}15}=-1{,}73;\qquad z_2=\dfrac{33-30}{1{,}15}=2{,}60$



$P(28<\overline{X}<33)=P(-1{,}73<Z<2{,}60)=P(Z<2{,}60)-P(Z<-1{,}73)$

$P(Z<2{,}60)=0{,}9953;\qquad P(Z<-1{,}73)=1-0{,}9582=0{,}0418$

$P(28<\overline{X}<33)=0{,}9953-0{,}0418=0{,}9535$

La probabilidad de que el tiempo medio esté entre 28 y 33 minutos es de 0,9535.