Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Una empresa destinada a la comercialización de cápsulas de café realiza un estudio de mercado entre un grupo de personas donde el 60 % son hombres y el 40 % restante son mujeres. La empresa comprueba que el 55 % de los hombres prefieren cápsulas de café capuchino, porcentaje que se eleva al 80 % en el caso de las mujeres.

a) Calcular la probabilidad de elegir una persona de ese grupo que resulte ser hombre y que prefiera cápsulas de café capuchino.
b) ¿Con qué probabilidad una persona elegida al azar de ese grupo prefiere cápsulas de café capuchino?

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de elegir una persona de ese grupo que resulte ser hombre y que prefiera cápsulas de café capuchino.}$

Se elige una persona al azar del grupo y se nombran los sucesos:

$H \equiv$ la persona elegida es hombre,
$M \equiv$ la persona elegida es mujer,
$C \equiv$ la persona elegida prefiere cápsulas de capuchino.

El 60 % son hombres y el 40 % mujeres:

$P(H)=0{,}60;\quad P(M)=0{,}40$

Prefieren capuchino el 55 % de los hombres y el 80 % de las mujeres:

$P(C/H)=0{,}55;\quad P(C/M)=0{,}80$

Los sucesos $H$ y $M$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Lo que se pide es la probabilidad de la intersección, que se obtiene multiplicando a lo largo de la rama correspondiente:

$P(H\cap C)=P(H)\cdot P(C/H)=0{,}60\cdot 0{,}55=0{,}33$

La probabilidad de elegir un hombre que prefiera capuchino es de 0,33.

$\textbf{b) ¿Con qué probabilidad una persona elegida al azar de ese grupo prefiere cápsulas de café capuchino?}$

Ahora se pide la probabilidad total de preferir capuchino, que se obtiene sumando las dos ramas que llevan a $C$:

$P(C)=P(H)\cdot P(C/H)+P(M)\cdot P(C/M)$

$P(C)=0{,}60\cdot 0{,}55+0{,}40\cdot 0{,}80=0{,}33+0{,}32=0{,}65$

La probabilidad de que una persona elegida al azar prefiera cápsulas de capuchino es de 0,65, es decir, un 65 %.