Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

El beneficio neto anual $B$ (en miles de euros) que las ventas de un producto generan a una empresa en función del gasto anual en publicidad $x$ (en miles de euros) viene dado por la función $B(x)=-20x^2+1200x+a$, donde $x \in [0,\infty)$.

a) Hallar el valor de $a$ sabiendo que un gasto en publicidad de 10000 euros proporciona un beneficio neto de 10 millones de euros.
b) Para $a=2000$, calcular el área delimitada por $B(x)$ y el eje OX en el intervalo $[0,1]$.

$\textbf{a) Hallar el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ sabiendo que un gasto en publicidad de 10000 euros proporciona un beneficio neto de 10 millones de euros.}$

Hay que tener cuidado con las unidades: tanto $x$ como $B$ vienen en miles de euros. Un gasto de 10000 euros es

$x=10$

y un beneficio de 10 millones de euros es

$B=10000$

Se impone la condición:

$B(10)=-20\cdot 10^2+1200\cdot 10+a=10000$

$-2000+12000+a=10000 \Rightarrow 10000+a=10000 \Rightarrow a=0$

El valor pedido es $a=0$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=2000}\textbf{, calcular el área delimitada por } \boldsymbol{B(x)}\textbf{ y el eje OX en el intervalo } \boldsymbol{[0,1]}\textbf{.}$

Con ese valor la función es

$B(x)=-20x^2+1200x+2000$

Se comprueba primero que no corta al eje dentro del intervalo. En los extremos:

$B(0)=2000>0$

$B(1)=-20+1200+2000=3180>0$

y entre ellos la función es continua y creciente, así que es positiva en todo $[0,1]$ y el área coincide con la integral.



$A=\int_{0}^{1}\left(-20x^2+1200x+2000\right)dx =\left[-\dfrac{20x^3}{3}+600x^2+2000x\right]_{0}^{1}$

$=-\dfrac{20}{3}+600+2000-0=2600-\dfrac{20}{3}=\dfrac{7800-20}{3}=\dfrac{7780}{3}$

El área delimitada es de $\dfrac{7780}{3}\approx 2593{,}33$ unidades cuadradas.