Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

El número de zancadas por minuto que realiza un corredor en su entrenamiento diario de 60 minutos viene dado por la función:

$f(x)=\begin{cases} 70 & \text{si } 0 \leq x \leq 40 \\[2mm] \dfrac{1}{10}x^2-11x+350 & \text{si } 40 < x \leq 60 \end{cases}$

donde $x$ representa el tiempo de entrenamiento transcurrido, medido en minutos.

a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcular el momento en el que alcanza el número de zancadas mínimo. ¿Cuál es el número de zancadas mínimo? (hasta 2 puntos)
b) Representar gráficamente la función $f(x)$, justificando brevemente la representación gráfica obtenida. (hasta 1 punto)

$\textbf{a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcular el momento en el que alcanza el número de zancadas mínimo. ¿Cuál es el número de zancadas mínimo?}\ (\text{hasta } 2\ \text{puntos})$

En el primer tramo, $0\leq x\leq 40$, la función es constante e igual a 70: ni crece ni decrece.

En el segundo tramo, $40<x\leq 60$, se deriva:

$f(x)=\dfrac{1}{10}x^2-11x+350 \Rightarrow f'(x)=\dfrac{x}{5}-11$

$f'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{x}{5}=11 \Rightarrow x=55$

El valor pertenece al tramo. Se toma un valor de prueba a cada lado:

$f'(45)=9-11=-2<0$, la función decrece.

$f'(58)=11{,}6-11=0{,}6>0$, la función crece.



La función es constante en $[0,40]$, decrece en $(40,55)$ y crece en $(55,60]$.

Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $x=55$ hay un mínimo:

$f(55)=\dfrac{55^2}{10}-11\cdot 55+350=\dfrac{3025}{10}-605+350=302{,}5-255=47{,}5$

El número mínimo de zancadas por minuto es 47,5 y se alcanza a los 55 minutos de entrenamiento.

$\textbf{b) Representar gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, justificando brevemente la representación gráfica obtenida.}\ (\text{hasta } 1\ \text{punto})$

Para dibujarla se reúne lo que ya se sabe.

En $[0,40]$ la gráfica es un segmento horizontal a la altura 70.

En $(40,60]$ es un trozo de parábola con las ramas hacia arriba, porque el coeficiente de $x^2$ es $\dfrac{1}{10}>0$, con el vértice en el mínimo $(55;\,47{,}5)$.

Las dos piezas empalman sin salto, porque en $x=40$ el segundo trozo vale

$\dfrac{40^2}{10}-11\cdot 40+350=160-440+350=70$

igual que el primero: la función es continua.

El entrenamiento acaba en $x=60$, donde

$f(60)=\dfrac{3600}{10}-660+350=360-310=50$



El corredor mantiene 70 zancadas por minuto durante los primeros 40 minutos, después baja hasta el mínimo de 47,5 en el minuto 55 y remonta ligeramente hasta 50 al terminar.