Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un almacén de frutas disponen de 800 kg de manzanas, 800 kg de naranjas y 500 kg de plátanos. Con estas existencias van a poner a la venta dos tipos de lotes de frutas, A y B. El lote A consta de 1 kg de manzanas, 2 kg de naranjas y 1 kg de plátanos; mientras que el lote B consta de 2 kg de manzanas, 1 kg de naranjas y 1 kg de plátanos.

Si los lotes A se venden a 12 euros cada uno y los lotes B a 14 euros cada uno, determinar, mediante técnicas de programación lineal, el número de lotes de cada tipo que ha de vender el almacén para maximizar sus ingresos. ¿A cuánto asciende ese ingreso máximo? (3 puntos)

Se llama $x$ al número de lotes del tipo A e $y$ al número de lotes del tipo B que se ponen a la venta.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Lote}$	$\text{Manzanas (kg)}$	$\text{Naranjas (kg)}$	$\text{Plátanos (kg)}$
A ($x$)	$x$	$2x$	$x$
B ($y$)	$2y$	$y$	$y$
Existencias	$800$	$800$	$500$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el ingreso:

$z=f(x,y)=12x+14y$

Las restricciones son las existencias de cada fruta:

$x+2y\leq 800$ (manzanas)

$2x+y\leq 800$ (naranjas)

$x+y\leq 500$ (plátanos)

$x\geq 0;\ y\geq 0$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$x+2y=800$

$x$	$y=\dfrac{800-x}{2}$
0	400
200	300

$2x+y=800$

$x$	$y=800-2x$
300	200
400	0

Los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: corte de $y=0$ con $2x+y=800$ $\Rightarrow x=400 \Rightarrow A(400,0)$.

Vértice $B$: corte de $2x+y=800$ con $x+y=500$. Restando la segunda de la primera:

$x=300 \Rightarrow y=200 \Rightarrow B(300,200)$

Vértice $C$: corte de $x+y=500$ con $x+2y=800$. Restando la primera de la segunda:

$y=300 \Rightarrow x=200 \Rightarrow C(200,300)$

Vértice $D$: corte de $x+2y=800$ con $x=0$ $\Rightarrow y=400 \Rightarrow D(0,400)$.

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cinco:

$f(O)=0$

$f(A)=f(400,0)=12\cdot 400=4800$

$f(B)=f(300,200)=3600+2800=6400$

$f(C)=f(200,300)=2400+4200=6600$

$f(D)=f(0,400)=14\cdot 400=5600$

El máximo se alcanza en el vértice $C(200,300)$.

Hay que vender 200 lotes del tipo A y 300 del tipo B, y el ingreso máximo es de 6600 euros.