Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Dada $f(x)=\dfrac{ax^2+1}{5x}$, dar un valor de $a$ para que en $x=1$ haya un extremo relativo de $f(x)$. (1 punto)

Para que la función tenga un extremo relativo en $x=1$ la derivada debe anularse ahí. Conviene separar la fracción antes de derivar, porque así el cálculo es inmediato:

$f(x)=\dfrac{ax^2+1}{5x}=\dfrac{ax^2}{5x}+\dfrac{1}{5x}=\dfrac{a}{5}x+\dfrac{1}{5}x^{-1}$

Se deriva:

$f'(x)=\dfrac{a}{5}-\dfrac{1}{5}x^{-2}=\dfrac{a}{5}-\dfrac{1}{5x^2}$

Se impone que se anule en $x=1$:

$f'(1)=\dfrac{a}{5}-\dfrac{1}{5}=0 \Rightarrow \dfrac{a-1}{5}=0 \Rightarrow a=1$

Falta comprobar que con ese valor hay de verdad un extremo y no un punto de inflexión. Con $a=1$:

$f'(x)=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5x^2}=\dfrac{x^2-1}{5x^2}$

$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}-1}{\frac{5}{4}}=-\dfrac{3}{5}<0$

$f'(2)=\dfrac{4-1}{20}=\dfrac{3}{20}>0$



La derivada pasa de negativa a positiva, de modo que en $x=1$ hay un mínimo relativo.

El valor pedido es $a=1$.