Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas tres matrices $A$, $B$ y $C$ se sabe que $A \cdot B \cdot C$ es una matriz de dimensiones $2 \times 3$ y que $B \cdot C$ es de dimensiones $4 \times 3$, determinar las dimensiones que debe tener $A$. (1 punto)

Para que un producto de matrices exista, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda, y la matriz resultante tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

El producto de tres matrices es asociativo, así que se puede escribir

$A\cdot B\cdot C=A\cdot(B\cdot C)$

Se llama $m\times n$ a la dimensión de $A$. Los datos del enunciado son que $B\cdot C$ es de dimensión $4\times 3$ y que $A\cdot(B\cdot C)$ es de dimensión $2\times 3$.

Para que el producto $A\cdot(B\cdot C)$ exista, las columnas de $A$ deben ser tantas como las filas de $B\cdot C$:

$n=4$

Y como el resultado tiene tantas filas como $A$, y el resultado tiene 2 filas:

$m=2$

Se comprueba con las dimensiones:

$(2\times 4)\cdot(4\times 3)=(2\times 3)$

La matriz $A$ debe ser de dimensión $2\times 4$.