Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Una compañía ofrece seguros de cancelación de viajes a destinos exóticos: el 30 % de sus seguros se contratan para viajar al país A, el 50 % para viajar al país B y el resto para viajar al país C. Según estudios previos, se cancela el viaje en el 1 % de los seguros contratados para el país A, el 1.5 % de los contratados para B y el 3.5 % de los contratados para C. Elegido un seguro al azar,

a) Calcular la probabilidad de que sea un viaje que se cancela.
b) Si es un seguro de un viaje cancelado, calcular la probabilidad de que haya sido contratado para viajar al país C.

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que sea un viaje que se cancela.}$

Se elige un seguro al azar y se nombran los sucesos:

$A \equiv$ el seguro es para viajar al país A,
$B \equiv$ el seguro es para viajar al país B,
$C \equiv$ el seguro es para viajar al país C,
$K \equiv$ el viaje se cancela.

El 30 % de los seguros son para A, el 50 % para B y el resto, el 20 %, para C:

$P(A)=0{,}30;\quad P(B)=0{,}50;\quad P(C)=1-0{,}30-0{,}50=0{,}20$

Se cancela el 1 %, el 1,5 % y el 3,5 % respectivamente:

$P(K/A)=0{,}01;\quad P(K/B)=0{,}015;\quad P(K/C)=0{,}035$

Los tres sucesos forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(K)=P(A)P(K/A)+P(B)P(K/B)+P(C)P(K/C)$

$P(K)=0{,}30\cdot 0{,}01+0{,}50\cdot 0{,}015+0{,}20\cdot 0{,}035$

$P(K)=0{,}003+0{,}0075+0{,}007=0{,}0175$

La probabilidad de que el seguro elegido corresponda a un viaje que se cancela es de 0,0175, es decir, un 1,75 %.

$\textbf{b) Si es un seguro de un viaje cancelado, calcular la probabilidad de que haya sido contratado para viajar al país C.}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(C/K)=\dfrac{P(C)\cdot P(K/C)}{P(K)}=\dfrac{0{,}20\cdot 0{,}035}{0{,}0175} =\dfrac{0{,}007}{0{,}0175}$

$P(C/K)=\dfrac{2}{5}=0{,}4$

Si el viaje se ha cancelado, la probabilidad de que el seguro fuera para el país C es de 0,4, el doble del 20 % que representa C en el total, porque es el destino con más cancelaciones.