Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El número de usuarios de una estación de metro a lo largo de un domingo evoluciona según la función $N(x)=-2x^3+75x^2-600x+2000$ con $0 \leq x < 24$, donde $x$ indica la hora del día.

a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento del número de usuarios de la estación a lo largo del domingo.
b) ¿A qué hora el número de usuarios es máximo y a qué hora es mínimo? Calcular el número de usuarios correspondiente a dichas horas.

$\textbf{a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento del número de usuarios de la estación a lo largo del domingo.}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada.

$N(x)=-2x^3+75x^2-600x+2000$

$N'(x)=-6x^2+150x-600$

$N'(x)=0 \Rightarrow -6x^2+150x-600=0 \Rightarrow x^2-25x+100=0$

$x=\dfrac{25\pm\sqrt{625-400}}{2}=\dfrac{25\pm 15}{2} \Rightarrow x=5,\ x=20$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[0,24)$ y lo parten en tres tramos. Se toma un valor de prueba en cada uno:

$N'(1)=-6+150-600=-456<0$, el número de usuarios decrece.

$N'(10)=-600+1500-600=300>0$, el número de usuarios crece.

$N'(22)=-2904+3300-600=-204<0$, el número de usuarios decrece.



El número de usuarios decrece en $(0,5)$, crece en $(5,20)$ y vuelve a decrecer en $(20,24)$.

$\textbf{b) ¿A qué hora el número de usuarios es máximo y a qué hora es mínimo? Calcular el número de usuarios correspondiente a dichas horas.}$

Por el apartado anterior, en $x=5$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo, y en $x=20$ pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo.

$N(5)=-2\cdot 125+75\cdot 25-600\cdot 5+2000=-250+1875-3000+2000=625$

$N(20)=-2\cdot 8000+75\cdot 400-600\cdot 20+2000=-16000+30000-12000+2000=4000$

Conviene comprobar además los extremos del intervalo, porque el máximo y el mínimo absolutos del día podrían estar en ellos:

$N(0)=2000;\qquad N(24)=-27648+43200-14400+2000=3152$

Ninguno supera a 4000 ni baja de 625.

El número de usuarios es mínimo a las 5 de la mañana, con 625 usuarios, y máximo a las 20 horas, con 4000 usuarios.