Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$:

$\begin{cases} 3x+2y+az=1 \\ 5x+3y+3z=2 \\ x+y-z=1 \end{cases}$

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $a$.
b) Resolver el sistema para $a=0$.

$\textbf{a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & a \\ 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^*=\begin{pmatrix} 3 & 2 & a & 1 \\ 5 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$|A|=3\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} +a\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=3(-3-3)-2(-5-3)+a(5-3)=-18+16+2a=2a-2$

$|A|=0 \Rightarrow 2a-2=0 \Rightarrow a=1$

Primer caso: $a\neq 1$.

Entonces $|A|\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=1$.

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}=9-10=-1\neq 0$

y como $|A|=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =3(3-2)-2(5-2)+(5-3)=3-6+2=-1\neq 0$

Luego $\text{rg}(A^*)=3\neq 2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\neq 1$ el sistema es compatible determinado y para $a=1$ es incompatible.

$\textbf{b) Resolver el sistema para } \boldsymbol{a=0}\textbf{.}$

Con $a=0$ se tiene $|A|=-2\neq 0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\begin{cases} 3x+2y=1 \\ 5x+3y+3z=2 \\ x+y-z=1 \end{cases}$

De la primera ecuación se despeja $y$:

$y=\dfrac{1-3x}{2}$

De la tercera se despeja $z$ y se sustituye ese valor:

$z=x+y-1=x+\dfrac{1-3x}{2}-1=\dfrac{2x+1-3x-2}{2}=\dfrac{-x-1}{2}$

Se lleva todo a la segunda ecuación y se multiplica por 2:

$5x+3\cdot\dfrac{1-3x}{2}+3\cdot\dfrac{-x-1}{2}=2$

$10x+3-9x-3x-3=4 \Rightarrow -2x=4 \Rightarrow x=-2$

Se deshace el camino:

$y=\dfrac{1+6}{2}=\dfrac{7}{2};\qquad z=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$5(-2)+3\cdot\dfrac{7}{2}+3\cdot\dfrac{1}{2}=-10+\dfrac{21}{2}+\dfrac{3}{2}=-10+12=2$

La solución es $x=-2$, $y=\dfrac{7}{2}=3{,}5$ y $z=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.