Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral con $P(B)=\dfrac{3}{5}$; $P(\bar{A} \cup \bar{B})=\dfrac{3}{4}$. Calcular $P(A \cap B)$. (1 punto)

Se parte de la relación entre el suceso $\overline{A}\cup\overline{B}$ y el suceso $A\cap B$, que dan las leyes de De Morgan:

$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$

Es decir, que no ocurra $A$ o que no ocurra $B$ es exactamente lo contrario de que ocurran los dos a la vez.

Por tanto, las dos probabilidades suman 1:

$P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=1-P(A\cap B)$

Se despeja lo que se pide y se sustituye el dato:

$P(A\cap B)=1-P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$

La probabilidad pedida es $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$.

Obsérvese que el dato $P(B)=\dfrac{3}{5}$ no hace falta para este cálculo; sirve solo para comprobar que la situación es coherente, ya que $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{3}{5}=P(B)$, como debe ocurrir siempre que un suceso está contenido en otro.