Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Justificar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: la función $f(x)=-x^3$ tiene un máximo relativo en el punto $x=0$. (1 punto)

La afirmación es FALSA.

Es cierto que la derivada se anula en $x=0$, que es la condición necesaria para tener un extremo:

$f(x)=-x^3 \Rightarrow f'(x)=-3x^2 \Rightarrow f'(0)=0$

Pero esa condición no basta. Para que en $x=0$ hubiera un máximo relativo la función tendría que pasar de crecer a decrecer, es decir, la derivada tendría que cambiar de positiva a negativa. Y eso no ocurre:

$f'(x)=-3x^2\leq 0 \quad\text{para todo } x$

porque $x^2\geq 0$ siempre. Por ejemplo:

$f'(-1)=-3<0$ y $f'(1)=-3<0$

La derivada es negativa a los dos lados del origen, de modo que la función decrece antes y después de $x=0$: no hay ni máximo ni mínimo.



Lo que hay en $x=0$ es un punto de inflexión con tangente horizontal, como confirma la segunda derivada:

$f''(x)=-6x \Rightarrow f''(0)=0$

y además $f''(x)>0$ para $x<0$ y $f''(x)<0$ para $x>0$, así que la curvatura cambia justo en el origen.