Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Hallar $a$ y $b$ para que la matriz $A$ conmute con $B$. (1 punto)

Que $A$ conmute con $B$ significa que $A\cdot B=B\cdot A$, cosa que en general no ocurre con las matrices. Se calculan los dos productos y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 & b+1 \\ a & b \end{pmatrix}$

$B\cdot A= \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & a \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Se igualan las dos matrices:

$\begin{pmatrix} a+1 & b+1 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & a \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

De la posición $a_{21}$ se obtiene directamente $a=2$ y de la $a_{22}$, $b=1$.

Se comprueba que las otras dos posiciones también se cumplen:

$a_{11}$: $a+1=3$ y $a+b=2+1=3$.

$a_{12}$: $b+1=2$ y $a=2$.

Las cuatro igualdades se satisfacen, de modo que $a=2$ y $b=1$, es decir,

$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$