Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El peso de los huevos de una granja sigue una distribución normal de media 67 gramos y desviación típica 15 gramos. En función del peso, los huevos se clasifican en 4 tamaños.

a) Teniendo en cuenta que se consideran de tamaño XL los huevos que pesan más de 73 gramos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar huevos de tamaño XL?
b) Si se elige al azar una muestra de 6 huevos, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra se encuentre entre 53 y 63 gramos (tamaño M).

$\textbf{a) Teniendo en cuenta que se consideran de tamaño XL los huevos que pesan más de 73 gramos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar huevos de tamaño XL?}$

Se llama $X$ al peso, en gramos, de un huevo de la granja. Por el enunciado

$X\sim N(67,15)$

Se pide $P(X>73)$. Se tipifica con $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$:

$P(X>73)=P\left(Z>\dfrac{73-67}{15}\right)=P(Z>0{,}4)$



La tabla da la probabilidad acumulada a la izquierda, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z>0{,}4)=1-P(Z\leq 0{,}4)=1-0{,}6554=0{,}3446$

La probabilidad de encontrar un huevo de tamaño XL es de 0,3446, es decir, un 34,46 %.

$\textbf{b) Si se elige al azar una muestra de 6 huevos, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra se encuentre entre 53 y 63 gramos (tamaño M).}$

Ahora la variable que interesa es la media muestral de 6 huevos, que sigue

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(67,\dfrac{15}{\sqrt{6}}\right)=N(67;\,6{,}12)$

Se tipifican los dos extremos:

$z_1=\dfrac{53-67}{6{,}12}=\dfrac{-14}{6{,}12}=-2{,}29$

$z_2=\dfrac{63-67}{6{,}12}=\dfrac{-4}{6{,}12}=-0{,}65$



$P(53<\overline{X}<63)=P(-2{,}29<Z<-0{,}65)=P(Z<-0{,}65)-P(Z<-2{,}29)$

Como la tabla solo da valores positivos, se usa la simetría de la campana:

$P(Z<-0{,}65)=1-P(Z<0{,}65)=1-0{,}7422=0{,}2578$

$P(Z<-2{,}29)=1-P(Z<2{,}29)=1-0{,}9890=0{,}0110$

$P(53<\overline{X}<63)=0{,}2578-0{,}0110=0{,}2468$

La probabilidad de que el peso medio de los 6 huevos esté entre 53 y 63 gramos es de 0,2468.