Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Un estudio realizado sobre los estudiantes de las universidades de Castilla y León determina que el 40 % de los estudiantes procede de la misma provincia en la que está situada la universidad, el 20 % procede de otras provincias de Castilla y León y el resto procede de otras comunidades autónomas. Además, cursan el grado elegido en primera opción el 50 % de los estudiantes que proceden de la misma provincia que la universidad, el 25 % de los procedentes de otras provincias de Castilla y León y el 65 % de los procedentes de otras comunidades autónomas. Se elige al azar un estudiante de las universidades de Castilla y León.

a) Calcular la probabilidad de que esté cursando el grado elegido en primera opción.
b) Si se ha elegido un estudiante que no está cursando el grado elegido en primera opción, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de otra comunidad autónoma diferente a Castilla y León?

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que esté cursando el grado elegido en primera opción.}$

Se elige al azar un estudiante de las universidades de Castilla y León y se nombran los sucesos:

$A \equiv$ procede de la misma provincia que la universidad,
$B \equiv$ procede de otra provincia de Castilla y León,
$C \equiv$ procede de otra comunidad autónoma,
$P \equiv$ cursa el grado elegido en primera opción.

El 40 % procede de la misma provincia, el 20 % de otras provincias de la comunidad y el resto, el 40 %, de otras comunidades:

$P(A)=0{,}40;\quad P(B)=0{,}20;\quad P(C)=1-0{,}40-0{,}20=0{,}40$

Cursan el grado en primera opción el 50 %, el 25 % y el 65 % de cada grupo:

$P(P/A)=0{,}50;\quad P(P/B)=0{,}25;\quad P(P/C)=0{,}65$

Los tres sucesos forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(P)=P(A)P(P/A)+P(B)P(P/B)+P(C)P(P/C)$

$P(P)=0{,}40\cdot 0{,}50+0{,}20\cdot 0{,}25+0{,}40\cdot 0{,}65$

$P(P)=0{,}20+0{,}05+0{,}26=0{,}51$

La probabilidad de que el estudiante curse el grado elegido en primera opción es de 0,51.

$\textbf{b) Si se ha elegido un estudiante que no está cursando el grado elegido en primera opción, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de otra comunidad autónoma diferente a Castilla y León?}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad del suceso contrario del apartado anterior:

$P(\overline{P})=1-0{,}51=0{,}49$

$P(C/\overline{P})=\dfrac{P(C)\cdot P(\overline{P}/C)}{P(\overline{P})} =\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}35}{0{,}49}=\dfrac{0{,}14}{0{,}49}$

$P(C/\overline{P})=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}2857$

Si el estudiante no cursa el grado elegido en primera opción, la probabilidad de que proceda de otra comunidad autónoma es $\dfrac{2}{7}\approx 0{,}2857$, menor que el 40 % que representan en el total, como cabía esperar por ser el grupo que más entra en primera opción.