Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Sabiendo que la gráfica de la función $f(x)=ax^2+bx+c$, si $0 \leq x \leq 60$, pasa por el punto $(0,20)$ y que alcanza un máximo de 36 en el punto de abscisa $x=40$, se pide

a) Determinar $a$, $b$ y $c$. Justificar la respuesta.
b) Calcular el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=60$.

$\textbf{a) Determinar } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. Justificar la respuesta.}$

Los tres datos del enunciado dan tres condiciones sobre la parábola.

La gráfica pasa por el punto $(0,20)$:

$f(0)=c=20$

Alcanza un extremo en $x=40$, luego la derivada se anula ahí:

$f'(x)=2ax+b \Rightarrow f'(40)=80a+b=0 \Rightarrow b=-80a$

Y el valor de ese extremo es 36:

$f(40)=1600a+40b+20=36$

Se sustituye $b=-80a$:

$1600a+40(-80a)=16 \Rightarrow 1600a-3200a=16 \Rightarrow -1600a=16$

$a=-\dfrac{1}{100}$

$b=-80\left(-\dfrac{1}{100}\right)=\dfrac{4}{5}=0{,}8$

Como $a<0$, la parábola tiene las ramas hacia abajo y el extremo es efectivamente un máximo, tal y como decía el enunciado. La función es

$f(x)=-\dfrac{1}{100}x^2+\dfrac{4}{5}x+20$

$\textbf{b) Calcular el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=60}\textbf{.}$

Antes de integrar se comprueba si la curva corta al eje dentro de $[0,60]$:

$-\dfrac{1}{100}x^2+\dfrac{4}{5}x+20=0 \Rightarrow x^2-80x-2000=0$

$x=\dfrac{80\pm\sqrt{6400+8000}}{2}=\dfrac{80\pm 120}{2}$

$x=100$ y $x=-20$, ninguna dentro del intervalo. Además $f(0)=20>0$, así que la función es positiva en todo $[0,60]$ y el área coincide con la integral.



$A=\int_{0}^{60}\left(-\dfrac{1}{100}x^2+\dfrac{4}{5}x+20\right)dx =\left[-\dfrac{x^3}{300}+\dfrac{2x^2}{5}+20x\right]_{0}^{60}$

$=-\dfrac{216000}{300}+\dfrac{2\cdot 3600}{5}+1200=-720+1440+1200=1920$

El área de la región es de 1920 unidades cuadradas.